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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
a) ∫cos⁡2(x)dx\int \cos ^{2}(x) d x

Respuesta

Esta integral la resolvimos en la clase "Integrales por partes que salen usando algún truquito". Bueno, en realidad vimos la de sin⁡2(x)\sin^2(x), pero te había comentado que los pasos y razonamientos para resolver por partes la de cos⁡2(x)\cos^2(x) era similar. Así que te recomiendo fuertemente que, si todavía no lo hiciste, mires primero esa clase! Ahora si, arrancamos:

Primero escribimos: ∫cos⁡2(x)dx=∫cos⁡(x)⋅cos⁡(x)dx\int \cos^{2}(x) dx = \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx Vamos a resolverla aplicando la fórmula de partes, tomamos: f′=cos⁡(x)→f=sin⁡(x) f' = \cos(x) \rightarrow f = \sin(x)
g=cos⁡(x)→g′=−sin⁡(x) g = \cos(x) \rightarrow g' = -\sin(x) Reemplazamos estas funciones en nuestra fórmula: ∫cos⁡(x)⋅cos⁡(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)−∫(sin⁡(x))⋅(−sin⁡(x))dx \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) - \int (\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) dx ∫cos⁡(x)⋅cos⁡(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+∫sin⁡2(x)dx \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int \sin^{2}(x) dx Ahora reescribimos sin⁡2(x)\sin^2(x) como 1−cos⁡2(x)1 - \cos^2(x) ∫cos⁡2(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+∫1−cos⁡2(x)dx\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 - \cos^{2}(x) dx Separamos la integral ∫cos⁡2(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+∫1dx−∫cos⁡2(x)dx\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 dx - \int \cos^{2}(x) dx ∫cos⁡2(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x−∫cos⁡2(x)dx\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x - \int \cos^{2}(x) dx Pasamos la integral de la derecha para el otro lado 2⋅∫cos⁡2(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x2 \cdot \int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x Pasamos el 22 dividiendo y ya estamos: ∫cos⁡2(x)dx=12⋅[sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x]+C\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x ] + C
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Valentino
14 de junio 14:50
Hola flor, tengo otra preg, cuando haces la intregral de 1, porq no queda x+C?
0 Responder
Flor
PROFE
14 de junio 19:47
@Valentino Se podría haber hecho así también, es lo mismo :) Fijate que yo la agregué directamente al final antes de reportar la respuesta, pero también podrías haber hecho esto:

∫cos⁡2(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x+C−∫cos⁡2(x)dx\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x + C - \int \cos^{2}(x) dx

 \, 2⋅∫cos⁡2(x)dx=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x+C2 \cdot \int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x + C  \,
∫cos⁡2(x)dx=12⋅[sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x+C]\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x + C]

Y si querés podés hacer la distributiva y te queda:

 \,

∫cos⁡2(x)dx=12⋅[sin⁡(x)⋅cos⁡(x)+x]+ 12⋅C\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x] + \frac{1}{2} \cdot C

 \,

Con lo cual te termina quedando también sumando una constante, que en este caso sería 12⋅C\frac{1}{2} \cdot C (cambia únicamente el nombre que le estamos poniendo, pero sigue siendo una constante sumando)
0 Responder