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Primero escribimos:
$\int \cos^{2}(x) dx = \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx$
Vamos a resolverla aplicando la fórmula de partes, tomamos:
$ f' = \cos(x) \rightarrow f = \sin(x) $
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@Valentino Se podría haber hecho así también, es lo mismo :) Fijate que yo la agregué directamente al final antes de reportar la respuesta, pero también podrías haber hecho esto:
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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9.
Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
a) $\int \cos ^{2}(x) d x$
a) $\int \cos ^{2}(x) d x$
Respuesta
Esta integral la resolvimos en la clase "Integrales por partes que salen usando algún truquito". Bueno, en realidad vimos la de $\sin^2(x)$, pero te había comentado que los pasos y razonamientos para resolver por partes la de $\cos^2(x)$ era similar. Así que te recomiendo fuertemente que, si todavía no lo hiciste, mires primero esa clase! Ahora si, arrancamos:
$ g = \cos(x) \rightarrow g' = -\sin(x) $
Reemplazamos estas funciones en nuestra fórmula:
$ \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) - \int (\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) dx $
$ \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int \sin^{2}(x) dx $
Ahora reescribimos $\sin^2(x)$ como $1 - \cos^2(x)$
$\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 - \cos^{2}(x) dx $
Separamos la integral
$\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 dx - \int \cos^{2}(x) dx $
$\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x - \int \cos^{2}(x) dx $
Pasamos la integral de la derecha para el otro lado
$2 \cdot \int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x $
Pasamos el $2$ dividiendo y ya estamos:
$\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x ] + C$
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Valentino
14 de junio 14:50
Hola flor, tengo otra preg, cuando haces la intregral de 1, porq no queda x+C?
Flor
PROFE
14 de junio 19:47
$\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x + C - \int \cos^{2}(x) dx $
$\,$
$2 \cdot \int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x + C $
$\,$
$\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x + C]$
Y si querés podés hacer la distributiva y te queda:
$\,$
$\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x] + \frac{1}{2} \cdot C$
$\,$
Con lo cual te termina quedando también sumando una constante, que en este caso sería $\frac{1}{2} \cdot C$ (cambia únicamente el nombre que le estamos poniendo, pero sigue siendo una constante sumando)
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